一个工程学上最伟大的数学工具，几乎人人每天都会用到，别不信呀！

「封面图」猜猜这是个啥

--本文较长，预计阅读时间10min--

大家好，我是科学羊🐑，这里是数学篇第五季第15篇。

如果说，昨天关于拉普拉斯变换带给我们的数学知识太过抽象，没听懂也没关系，毕竟他还和我们的生活接触太过“疏远”了，我们表示先保持接触，不深交即可。

但是，今天这个秘密武器，你可要必须知道啊！

可以说，要是没有这个工具，什么机器人技术、控制系统、四轴飞行器等等虽不能说不存在，但肯定能说它们的系统会变的很不稳定，以至于无法“存活”。

你比如说，在处理传感器数据时它是非常重要的。机器人依赖各种传感器（如视觉、声学、激光等）来感知环境。而它能用于分析和过滤这些传感器信号，提取有用信息，去除噪声。

四轴飞行器的飞行稳定性依赖于精确的控制算法，它能保证分析飞行器稳定性等等。

哈哈，它就是“工程之王”—— 傅立叶变换！

先看下面这个动图，看能不能看懂。

傅里叶变换将函数的时域（红色）与频域（蓝色）相关联。频谱中的不同成分频率在频域中以峰值形式表示。

好，接下来我们仔细谈谈。

01 小白认知傅立叶变换

傅里叶变换（Fourier Transform），这个在科技领域无处不在的数学工具，你可能已经在大学课程中接触过。

即使你没有正式学过，也许在科技新闻或某些科普读物中听过这个词。

傅里叶变换可以说是构建现代科技的基石之一，几乎渗透到我们的生活每个角落。

手机播放MP3音乐、图像处理、语音识别，这些日常应用无一不依赖傅里叶变换的强大功能。

那么，什么是傅里叶变换？为什么它如此重要？

从本质上来说，和昨天谈的拉普拉斯变换一样，其实傅里叶变换是一种将复杂事物拆解成简单事物的方法。

为了更直观地理解，我们可以以声音为例。

注意，声音只是傅里叶变换的一个应用例子，这种方法并不限于声音或波动。

众所周知，声音是空气的震动。当你拨动琴弦时，耳边传来的音调其实是空气以固定频率震动的结果。

例如，一个标准的A音符大约每秒震动440次。这个频率和震动的幅度决定了音调和音量。

假如我们把简单的声音可以用如下图表示，横坐标是时间，纵坐标是震动的幅度。这个波形呈现出完美的周期性变化，说明它是一个单纯的音调，即正弦波。

然而，真实世界中的声音往往不是单一音调，而是复杂的震动。这种复杂的声音看起来杂乱无章，如下图所示：

复杂的声音

关键的洞见在于：复杂的震动可以看作是一系列简单震动的叠加。例如，上图中的复杂波形实际上是几个简单波动相加的结果，如下图所示：

这就像一天中的温度变化，你可能感受到的温度变化非常复杂，但实际上你经历的是几种简单变化的叠加。红色曲线可以代表自然温度的变化，绿色曲线表示你是否在室内，蓝色曲线代表你是否穿上外套。

傅里叶变换就是在这个背景下运作的：如果我们先规定好一系列简单波动，那么任何一个复杂波动都可以用这些简单波动拆解。

复杂波形

例如，上面这个波形看似复杂，但其实可以分解为几种简单波动的叠加：

拆解之后的波形

上图中的蓝色曲线就是一系列简单波动，傅里叶变换能告诉我们每一个简单波动对复杂波形的贡献度。我们可以表示为：

红色曲线 = 频率是100的蓝色曲线 × 0.5 + 频率是200的蓝色曲线 × 0.2 + 频率是300的蓝色曲线 × 0.1 + 频率是400的蓝色曲线 × 0.08 + ……

如果这些蓝色曲线都是约定俗成的“标准化简单事物”，那么描绘复杂波形时只需要记录这些简单波动的“成分”即可——这就是傅里叶变换的基本原理。

现在你看出傅里叶变换的好处了吧？

02 傅立叶变换的应用

通过几个数字我们就可以描绘一条复杂的曲线，这也正是数字音乐的原理。

标准化的简单音调是大家约定好的，只需记录一个声音分解成简单音调的成分值即可。

因为特别高频和低频的声音人耳听不见，标准化简单音调数量是有限的，用很有限的数字就能描绘复杂声音，这就是WAVE音频格式的基本原理。

再进一步压缩处理，就成了MP3。类似地，JPG图像的原理也是通过傅里叶变换，把时间上的波动变成空间上的波动。

傅里叶变换不仅限于声音或图像，它可以应用于任何信号处理。

例如在工程领域，用来分析机械振动；

在医学中，用于处理脑电波；

在天文学中，用来分析星体信号等。

总之，傅里叶变换是一种强大的工具，能将复杂现象分解为简单的成分，从而简化分析和处理。

不过这里我不得不提下，我作为机器人制造厂商对“傅立叶变换”的应用——减速机异响分析。

一款RV工业机器人减速机

我们知道，减速机在工业机器人上有至关重要的作用，如提高关节扭矩、高精度、高负载等。

但，因为机器人长期运动会导致减速机发生异响或磨损。这个时候就需要我们就会采集减速机的数据（如位置误差、电流）等等，然后用傅立叶变换进行分析。

比如下图：

左边是正常减速机的数据对应傅立叶变换的数据分析，对应的频域图只有一个频率的噪音（当时这只是模拟数据，实际会比这个更复杂）

右边就是异常减速机的数据对应傅立叶变换的数据分析，可以看出多出了2个柱子，而2个多出的柱子就是噪音来源。

这个时候你就要去分析究竟是什么原因导致的。

而老师傅一般一眼看出可能是装备问题等等，因为频率的数据就代表了一种异常来源，见得多了，什么频率对应什么事件一般都是清楚的。

当然，傅里叶变换并不要求记录的信息具有周期性。任何形状的线条都可以用那些标准化的简单曲线合成出来，哪怕只有一个周期也是可以做的。

这些“标准化的简单音调”如何选取有一定讲究，要求“不重不漏”。

所谓不漏，就是组合在一起必须覆盖耳朵能听见的所有频率；不重，则是这些音调之间不能有重叠。

这些标准化的简单事物是傅里叶变换的基石，可以想象成“维度”。

复杂事物就像由这些简单事物构成的多维空间中的一点，每一种简单事物的成分构成了这个复杂事物的坐标。

为了保证坐标系统的清爽，各个维度之间应该是互相垂直（数学上叫“正交”）的关系。

03 生活中的傅立叶变换，我们是怎么实现的

你看，你每一次对着菜谱做菜，都是在进行一种傅里叶变换。

菜谱中用到的食材、盐和水就是傅里叶变换中的“简单标准化事物”。菜谱只需要告诉你成分即可，大家约定俗成都知道这些食材是什么。

这说明了什么？

说明如果一个社会有一个标准化的简单事物话语体系，交流会非常方便。这也意味着要想高效交流，就必须有一个约定俗成的标准化简单事物体系。

在现代社会，使用傅里叶变换的实际操作总是会有失真。

理论上，标准化简单音调数量是无限的，但实际应用中我们只能用有限数字描绘声音。这是因为不易分辨的、或者振幅特别低的音调被省略了。

因此，数字化声音会有一些限制：

1、你无法发出无法用选取的简单音调描绘的声音；

2、声音的细微之处将被忽略；

3、能传播的声音都是标准化简单声音的排列组合。

这就解释了为什么福柯说，“人类的一切知识都是通过‘话语’获得的，任何脱离‘话语’的东西都是不存在的。”

在傅里叶变换的视角下，这个世界没有新鲜事物。

例如，你做了一个梦，觉得精彩绝伦，就写成小说，认为拍成电影一定会火。

但你的编剧朋友可能会说：“这不就是《罗生门》× 0.5 + 《哈姆雷特》× 0.2 + 《侏罗纪公园》× 0.3 吗？”

他对你的剧情做了傅里叶变换。如今所有的剧情桥段都可能被拍过了，你所谓的创造，通常只是已知标准化简单事物的排列组合。

这就是为什么在成熟领域搞“纯创新”非常困难。如果该领域已经形成了独特的话语体系（即傅里叶变换），你首先要学习这个话语体系。

最后还有一个问题：

什么时候用傅立叶什么时候用拉普拉斯？

这就要说一下他们之间的差异了。

其实，傅立叶变换和拉普拉斯变换是两个重要的数学工具，它们在信号处理、系统分析和控制理论中有广泛的应用。尽管它们有很多相似之处，但它们也有一些关键的区别，适用于不同的情况。

什么时候该用哪个？

傅立叶变换：

• 分析周期性信号或稳态信号的频率成分。

• 进行频谱分析、图像处理或信号过滤。

拉普拉斯变换：

• 分析系统的瞬态行为和动态响应。

• 设计和分析控制系统中的反馈控制器。

• 分析电路的瞬态和稳态响应。

可以看出，傅立叶变换和拉普拉斯变换都是强大的工具，适用于不同的分析场景。

傅立叶变换适合处理周期性和稳态信号，主要用于频谱分析和图像处理。

而拉普拉斯变换则更适合分析瞬态信号和动态系统，广泛应用于控制系统设计和电路分析。

了解两者的关系和区别，可以帮助我们在不同的工程和科学问题中选择合适的工具。

不过大家注意，傅立叶变换和拉普拉斯变换之间并没有前后关联，它们是不同时代，不同目的而发明的。

傅立叶是为了解决热传导问题提出的，而拉普拉斯是为了简化微分方程的求解过程而提出的。

最最后，我们走之前再看一眼傅立叶变换的公式，不然显得不尊重：

这里的，ω 是频率变量，j 是虚数单位。

结语

傅里叶变换让我们看到，即使是复杂的事物，也能拆解为一系列简单的成分。

这种思想不仅在科技和工程中应用广泛，也可以帮助我们理解世界和沟通交流。

理解傅里叶变换，不仅能提升我们解决问题的能力，更能让我们在生活中发现智慧的光芒。

当然，我们的故事并不会结束，未来章节还会慢慢细化关于这方面的知识。明天我还会给大家看一个神仙级数学宝器，敬请期待！

好，今天先这样啦～

科学羊🐏  2024/07/03

祝幸福~

参考资料：

[1].https://www.dedao.cn/course/article?id=dA5eO3NDrGk8KP0djQK2oxp9MRBzQP&source=search

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